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2016D题 众筹筑屋规划方案设计模型
发布时间:2016-04-26 09:32 作者:admin 来源:竞赛组委会 阅读次数:

                           众筹筑屋规划方案设计模型
  

                                                    山东劳动职业技术学院
                                                    崔宝龙、李成、宋鑫宁
                     
                                         指导教师:朱鹏华、张娟、冯静

                                            
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摘  要
        众筹筑屋是互联网时代一种新型的房地产形式。众筹筑屋规划方案设计涉及房地产领域的诸多因素,诸如容积率、开发成本、税率、预期收益等,同时还要考虑参筹者对房型的满意比例等因素。本文运用最优化建模较合理的研究了众筹筑屋规划方案设计问题。
问题1,在理清和界定相关概念的基础上,我们建立问题1的数学模型,通过将附件1的数据用Mathematica软件和Excel分别进行计算,求得了容积率和成本,之后将其他宅的数据按照普通宅与非普通宅的建筑面积比例进行分摊,通过对分摊后数据的分析,我们计算出了增值税与收益:
成本(元) 容积率 土地增值税(元) 收益(元)
2463247412 2.275 167649785 615822802
问题2,从分析登记参筹网民对各种房型的满意比例入手,我们定义了房型 的需求率和满意距离,运用最小二乘法,较合理的构造了目标函数。以容积率不超过2.28以及附件所给出的各种房型数量的建设约束范围为约束条件,建立了最优化模型(整数规划)。最后我们用Mathematica软件进行求解,得出了新的设计建设规划方案(即方案II):
房型 房型1 房型2 房型3 房型4 房型5 房型6 房型7 房型8 房型9 房型10 房型11
建房套数 117 179 152 177 210 244 269 180 61 93 121
问题3,因为方案II的投资回报率 ,方案不能成功执行。我们建立了改进的优化模型,以简化了的ROI的倒数为目标一,满意距离之和为目标二,使他们加权和最小。根据试验,令目标一的权重远大于目标二的权重,借助Mathematica软件求出可以执行的方案。最终的投资回报率 ,方案可以成功被执行。

关键词:成本;容积率;增值税;收益;满意距离

一、问题重述
众筹筑屋是互联网时代一种新型的房地产形式。现有占地面积为102077.6平方米的众筹筑屋项目(详情见附件1)。项目推出后,有上万户购房者登记参筹。项目规定参筹者每户只能认购一套住房。
在建房规划设计中,需考虑诸多因素,如容积率、开发成本、税率、预期收益等。根据国家相关政策,不同房型的容积率、开发成本、开发费用等在核算上要求均不同,相关条例与政策见附件2和附件3。
请你结合本题附件中给出的具体要求及相关政策,建立数学模型,回答如下问题:
1.为了信息公开及民主决策,需要将这个众筹筑屋项目原方案(称作方案Ⅰ)的成本与收益、容积率和增值税等信息进行公布。请你们建立模型对方案I进行全面的核算,帮助其公布相关信息。
2.通过对参筹者进行抽样调查,得到了参筹者对11种房型购买意愿的比例(见附件1)。为了尽量满足参筹者的购买意愿,请你重新设计建设规划方案(称为方案Ⅱ),并对方案II进行核算。
3.一般而言,投资回报率达到25%以上的众筹项目才会被成功执行。你们所给出的众筹筑屋方案Ⅱ能否被成功执行?如果能,请说明理由。如果不能,应怎样调整才能使此众筹筑屋项目能被成功执行?

二、问题分析
众筹筑屋规划建模涉及房地产领域的诸多因素,诸如容积率、开发成本、税率、预期收益等。首先我们要做的是查阅房地产会计学、国家相关政策规定(中华人民共和国土地增值税暂行条例)中的定义、要求和计算方法。然后以此为依据进行模型假设,并在此基础上建立数学模型,分析和计算附件1所给出的数据,完成问题1;其后以尽量满足参筹者购买意愿为目标,建立最优化模型,并运用Mathematica软件完成求解;对问题2所得到的方案II进行核算,求出投资回报率,进而建立问题3的优化模型,并运用Mathematica软件完成求解。
对于问题1:我们要利用已有的附件中的信息与所查的资料计算出方案Ⅰ的成本与收益、容积率和增值税。准确界定成本的概念对于公众民主决策十分重要。首先我们对成本与收益、容积率和增值税这四个概念进行了界定。我们站在众筹筑屋开发商的角度,将成本划定为四个部分:其一,取得土地使用权所支付的金额;其二,房地产开发成本;其三,房地产开发费用;其四,与转让房地产有关的税金。容积率指项目用地范围内总建筑面积与项目总用地面积的比值,是一个房产项目的总建筑面积与用地面积的比率。计算增值税是问题1的关键,土地增值税是对有偿转让国有土地使用权及地上建筑物和其他附着物产权,取得增值收入的单位和个人征收的一种税。我国土地增值税实行 “四级超率累进税率”。计算增值额是土地增值税的关键所在,增值额是纳税人转让房地产取得的收入减除规定的扣除项目金额后的余额。而要计算增值额,首先必须确定扣除项目金额。扣除项目金额指取得土地使用权所支付的金额;开发土地的成本、费用;与转让房地产有关的税金;财政部规定的其他扣除项目;旧房及建筑物的评估价格;[2009]31号文规定的其它扣除项目共七项。最终收益等于售房总收入减去成本投入和国家征收的土地增值税。
在理清和界定上述概念的基础上,我们通过将附件1给出的数据用Excel和Mathematica软件进行数据处理求得了容积率和成本,之后我们将所有房型分为普通宅与非普通宅两类并将其他宅的数据按照普通宅与非普通宅的建筑面积比例进行分摊,通过对分摊后数据的分析计算,我们可以计算出增值税与收益。
对于问题2:我们从分析登记参筹网民对各种房型的满意比例入手,从附件所给抽样调查数据分析可知,每个被调查者可以对多种房型表示满意。故我们将现实调查的结果换算成每个人只能选择一个满意房型的情形(即与众筹参与者的需求率相对应),与题设本项目规定参筹者每户只能认购一套住房相吻合。为了尽量满足参筹者的购买意愿,我们运用最小二乘法,使得方案中每个房型的数量占总房型的数量之比与抽样调查的比例之间的“满意距离”的和最小,并以此为目标函数建立最优化模型,其中约束条件为容积率不超过2.28以及附件所给出的各种房型数量的建设约束范围。最后我们用Mathematica软件进行求解,可以计算出新的设计建设规划方案(即方案II)。
对于问题3:一般而言,投资回报率(ROI)达到25%以上的众筹项目才会被成功执行,利用问题1的模型和算法对方案II进行计算,如果ROI超过25%,我们就接受方案II;否则,我们就要对最优化模型的目标函数进行改进,可以将目标函数修改成两个目标的目标函数,其中取简化的ROI的倒数,使其与“满意距离”的加权和最小。然后在借助Mathematica软件进行求解,直至得出符合题设的方案。


三、模型的假设
1.假设本项目所有房型均可按照规定售价卖出,无滞销状况,也不存在打折销售现象。
2.假设土地支付金额与土地面积成正比,即每平方米土地价格均相同。
3.假设满意度抽样调查时投满意票的人拥有购买此房型的真实意愿。
4.假设扣除项目金额中计算房地产开发费用时无法提供有效的金融机构证明并按照取得土地使用权所支付金额和房地产开发成本金额之和的9%计算扣除(要求是10%以内)。
5.假设本房产项目所购买土地范围内无旧房及旧建筑物,即不计旧房及建筑物的评估价格。
6.假设本项目是房地产开发的纳税人,即可享受《实施细则》 第七条取得土地使用权所支付的金额和房地产开发成本规定计算的金额之和,加计20%扣除。
7.假设在建造房屋时未进行费用预提,即不存在[2009]31号文规定的其它扣除项目。

四、符号说明

众筹筑屋项目成本

取得土地支付的成本(金额)

房地产开发成本

与转让房地产有关的税金

房地产开发费用

房型 的面积


方案Ⅰ房型 的建房套数


房型 的开发成本


众筹筑屋项目总收入

房型 的售价


收益(利润)

众筹筑屋项目的土地增值税

众筹筑屋项目的容积率

众筹筑屋项目土地总面积

普通宅、非普通宅的增值额(按分摊后计算)

普通宅、非普通宅的收益(按分摊后计算)

普通宅、非普通宅的扣除项目金额(按分摊后计算)

普通宅、非普通宅的增值税(按分摊后计算)

普通宅、非普通宅、其他项目的建筑面积(按分摊前计算)

普通宅、非普通宅建筑面积占普通宅、非普通宅建筑面积之和的比例

普通宅、非普通宅、其他项目开发成本(按分摊前计算)

普通宅、非普通宅、其他项目收入(按分摊前计算)

其他项目分摊到普通宅、非普通宅的收益

其他项目分摊到普通宅、非普通宅的开发成本

其他项目分摊到普通宅、非普通宅的建筑面积

普通宅、非普通宅的收益(按分摊后计算)

普通宅、非普通宅的开发成本(按分摊后计算)

普通宅、非普通宅的建筑面积(按分摊后计算)

普通宅房产中第 项扣除金额(按分摊后计算)


普通宅、非普通宅土地使用权所支付的金额(按分摊后计算)

普通宅、非普通宅的开发成本(按分摊后计算)

普通宅、非普通宅的房地产开发费用(按分摊后计算)

普通宅、非普通宅与转让房地产有关税金(按分摊后计算)

普通宅、非普通宅的其他扣除项目(按分摊后计算)

普通宅、非普通宅土地使用范围内旧房及建筑物的评估价格(按分摊后计算)

[2009]31号文规定的普通宅、非普通宅其他扣除项目金额

非普通宅房产中第 项扣除金额(按分摊后计算)


新方案房型 的套数


参筹者抽样调查对房型 的满意比例


目标一的权重

目标二的权重
ROI 投资回报率

五、模型的建立与求解
(一)模型的建立
问题1:
本题主要对方案Ⅰ的成本、容积率、增值税和收益的计算进行建模,并将计算所得的数值进行直观的展示,方便信息公开和民主决策。
1.1成本  C
成本(Cost)是进行生产活动或达到目的就必须消耗一定的资源其所花费资源的货币形式。我们认为,众筹筑屋项目的成本应该包括取得土地使用权所支付的金额、房地产开发成本、与转让房地产有关的税金及房地产开发费用四部分。
本项目的成本为:
  ,
其中,取得土地使用权所支付的金额:
(元),
房地产开发成本:

与转让房地产有关的税金:
= ,
房地产开发费用:
.
1.2容积率  
容积率(Volume Fraction)是指项目用地范围内总建筑面积与项目总用地面积的比值。容积率是城市规划中的一个重要技术指标,它间接反映了土地的开发强度。对于开发商来说,容积率决定地价成本在房屋中占的比例,容积率越小,建筑密度一般也就越低,开发商可用于回收资金的面积就越少;而对于住户来说,容积率直接涉及到居住的舒适度,容积率越小,居住舒适度越高。
众筹筑屋项目的容积率为:
  ,
但是必须注意在计算容积率时,并非所有住宅的建筑面积都列入容积率的计算,例如本题中房型9、10、11的建筑面积不能列入容积率的计算,必须排除。
1.3土地增值税  
所谓土地增值税,就是对有偿转让国有土地使用权及地上建筑物和其他附着物产权,取得增值收入的单位和个人征收的一种税。在土地增值税的计算过程中,普通住宅和非普通住宅的土地增值税三分开计算的,其他类别则按规定将实际发生的成本按照普通宅和非普通宅建筑面积比进行分摊计算。
我们先将其他类别实际发生的成本按照普通宅和非普通宅建筑面积比进行分摊,分别计算出分摊后普通宅和非普通宅的建筑面积、成本和收入,在此基础上计算出分摊后普通宅和非普通宅的增值额,再根据增值额与扣除项目金额的比值范围,计算分摊后普通宅和非普通宅的增值税,如图1-1所示。

图1-1 计算增值税的流程
1.3.1其他项目的分摊处理
分摊前普通宅的建筑面积记为:

分摊前非普通宅的建筑面积记为:

由 和 可得到普通宅和非普通宅的的分摊比例为:


显然,
.
根据增值税计算的需要,我们只需对其他项目的开发成本、收入和建筑面积进行分摊。
其他项目总开发成本为:

其他项目总收入为:

其他项目总建筑面积为:
.
方案Ⅰ在其他项目的开发成本、收入和建筑面积的计算中包括两种房型,房型9和房型10,即 。
由此可以得到,其他项目分摊到普通宅的收益、开发成本、建筑面积分别为:


.
其他项目分摊到非普通宅的收益、开发成本、建筑面积分别为:


.
1.3.2分摊后普通宅和非普通宅的相关数据计算
    对普通宅来说,分摊前的收益、开发成本和建筑面积分别为:


注: 部分房型在计算扣成项目金额时的开发成本不允许扣除,不列入计算。例如本题中,房型3的开发成本不允许扣除,即 。
分摊后普通宅的收益、开发成本和容积分别记作 、 、 ,则有


.
同理,可以得到非普通宅分摊前的收益、开发成本和容积:
,
.
注: 部分房型在计算扣成项目金额时的开发成本不允许扣除,不列入计算。例如本题中,房型8和房型11的开发成本不允许扣除,即 。
分摊后非普通宅的收益、开发成本和容积分别为:


.
1.3.3分摊后普通宅增值税的计算
分摊后普通宅的增值额为:

分摊后普通宅的扣除项目金额为:


其中,分摊后取得土地使用权所支付的金额为:

分摊后房地产开发成本为:

分摊后房地产开发费用为:
  ,
分摊后与转让房地产有关的税金为:

分摊后其它扣除项目为:

这里我们认为在本项目的土地范围内不存在旧房及建筑物的转让和[2009]31号文规定的其它扣除项目。
故                             , .
分摊后普通宅增值税的计算公式为:


1.3.4分摊后非普通宅增值税的计算
分摊后非普通宅的增值额表示为:

分摊后非普通宅的扣除项目金额为:

其中,分摊后取得土地使用权所支付的金额为:

分摊后房地产开发成本为:

分摊后房地产开发费用为:
, ,
分摊后与转让房地产有关的税金为:

分摊后其它扣除项目为:

同样,这里我们认为在本项目的土地范围内不存在旧房及建筑物的转让和[2009]31号文规定的其它扣除项目。
故                             , .
分摊后非普通宅增值税的计算公式为:

1.3.4总增值税的计算
总增值税为普通宅增值税与非普通宅增值税之和:
.
1.4收益  
众筹筑屋项目的最终收益(interest)等于售房总收入(income)减去成本投入和国家征收的土地增值税。
众筹筑屋项目总收入为:

众筹筑屋项目收益为:
.
问题2:
本题在分析抽样调查众筹者对各种房型的满意比例的基础上,运用最小二乘法,构造“满意距离”目标函数,并建立最优化模型(整数规划)。
设 为房型 的套数, ,
定义1:房型 的套数占项目房型总套数的比例为房型 的需求率,记作 。
即                            
为参筹者抽样调查对房型 的满意比例, , ,见表5-1。
房型1 房型2 房型3 房型4 房型5 房型6 房型7 房型8 房型9 房型10 房型11
满意
比例 0.4 0.6 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.6 0.2 0.3 0.4
表5-1  参筹者抽样调查满意比例
若假设有 个人参加抽样调查,且每个人之选一个满意房型,则

现实中,并未规定每个被调查者只能选一个满意房型,即一个人可能对多种房型满意。
故                              ,
令                              ,
则 表示本次抽样调查每个人平均选择满意房型的数量。
设 为选择房型 为满意的数, , 为抽样调查人的总数,
所以                            ,
又                            ,
故将现实调查的结果换算成每个人只选一个满意房型的情形(即与众筹参与者的需求率相对应),与题设本项目规定参筹者每户只能认购一套住房相吻合,房型 的修正满意率作 ,
则                      ,
定义2:每个房型的数量占总房型的数量之比与抽样调查的的比例只差的平方为满意距离,即
.
目标函数:
为了尽量满足参筹者的购买意愿,我们设计的方案中每个房型的数量占总房型的数量之比要与抽样调查的的比例之间的“满意距离”之和最小。
.
约束条件:
根据地形限制和申请规则,城建部门规定的11种房型最低套数和最高套数约束,见表5-2。
表5-2 房型套数约束
子项目 最低套数 最高套数
房型1 50 450
房型2 50 500
房型3 50 300
房型4 150 500
房型5 100 550
房型6 150 350
房型7 50 450
房型8 100 250
房型9 50 350
房型10 50 400
房型11 50 250














国家规定住宅房地产的最大容积率为2.28,
即                                   .
所以,最终的约束条件为:
, , , , , ,
, , , , ,
( 为自然数), .
综上所述,本题的优化模型为












( 为自然数),
.
问题3:
本题在问题2的基础上进行分析,首先计算方案Ⅱ的投资回报率(ROI),投资回报率是指通过投资而应返回的价值,即投资人从一项投资活动中得到的经济回报。
投资回报率计算公式为:

若 ,则问题结束;
若 ,需要对问题2的优化模型进行修正,在目标函数中增加投资回报率的因素(ROI最大化)。为了协调投资回报率和满意距离,我们将取投资回报率的倒数,又因为投资回报率与增值税有关,考虑到增值税计算的复杂性,我们将投资回报率目标简化为:
.
改进的优化模型为:

其中, 表示房型 的开发成本; 表示房型 的售价; 表示房型 的面积; 表示目标权重。











( 为自然数),
.

(二)模型的求解
问题1:
根据方案I所给定的数据,见表5-3。我们运用Mathematica软件和Excel分别进行了计算。详细计算过程见源程序附件。
表5-3  方案I的相关数据
子项目
房型 住宅
类型 容积率 开发
成本 房型面积

建房
套数 开发成本
(元/  )
售价
(元/ )

房型1 普通宅 列入 允许扣除 77 250 4263 12000
房型2 普通宅 列入 允许扣除 98 250 4323 10800
房型3 普通宅 列入 不允许扣除 117 150 4532 11200
房型4 非普通宅 列入 允许扣除 145 250 5288 12800
房型5 非普通宅 列入 允许扣除 156 250 5268 12800
房型6 非普通宅 列入 允许扣除 167 250 5533 13600
房型7 非普通宅 列入 允许扣除 178 250 5685 14000
房型8 非普通宅 列入 不允许扣除 126 75 4323 10400
房型9 其他 不列入 允许扣除 103 150 2663 6400
房型10 其他 不列入 允许扣除 129 150 2791 6800
房型11 非普通宅 不列入 不允许扣除 133 75 2982 7200

其中计算增值税的主要结果(所有结果均取整数部分):
1.普通宅增值税的计算

因为,                        ,
故                         ;
2.非普通宅增值税的计算

因为,                        ,
故                         ;
3.总增值税的计算
.
经上述计算,我们最终得到了方案1的成本、容积率、土地增值税及收益的准确数值,为了信息公开,用表格展示,见表5-4。

表5-4众筹筑房方案I相关信息
成本(元) 容积率 土地增值税(元) 收益(元)
2463247412 2.275 167649785 615822802

问题2:
根据参筹者抽样调查满意比例和最优化模型,我们运用Mathematica软件编写程序,计算出参筹者的购买意愿最优化的方案II,见表5-5。
表5-5方案II的相关数据
子项目
房型 住宅
类型 容积率 开发
成本 房型面积

建房
套数 开发成本
(元/  )
售价
(元/ )

房型1 普通宅 列入 允许扣除 77 117 4263 12000
房型2 普通宅 列入 允许扣除 98 179 4323 10800
房型3 普通宅 列入 不允许扣除 117 152 4532 11200
房型4 非普通宅 列入 允许扣除 145 177 5288 12800
房型5 非普通宅 列入 允许扣除 156 210 5268 12800
房型6 非普通宅 列入 允许扣除 167 244 5533 13600
房型7 非普通宅 列入 允许扣除 178 269 5685 14000
房型8 非普通宅 列入 不允许扣除 126 180 4323 10400
房型9 其他 不列入 允许扣除 103 61 2663 6400
房型10 其他 不列入 允许扣除 129 93 2791 6800
房型11 非普通宅 不列入 不允许扣除 133 121 2982 7200

同样,运用问题1的模型,Mathematica软件和Excel分别进行核算,最终得到了方案1的成本、容积率、土地增值税及收益的准确数值,为了信息公开,用表格展示,见表5-6。
表5-6众筹筑房方案II相关信息
成本(元) 容积率 土地增值税(元) 收益(元)
2318170073 2.097 156592437 467873089

问题3:
由问题2计算所得的方案II及其相关数据,计算投资回报率为:

显然, ,故需运用修正模型运用Mathematica软件重新计算,取 ,计算出能被执行的最优化方案Ⅲ,见表5-7。
表5-7方案Ⅲ的相关数据
子项目
房型 住宅
类型 容积率 开发
成本 房型面积

建房
套数 开发成本
(元/  )
售价
(元/ )

房型1 普通宅 列入 允许扣除 77 50 4263 12000
房型2 普通宅 列入 允许扣除 98 50 4323 10800
房型3 普通宅 列入 不允许扣除 117 50 4532 11200
房型4 非普通宅 列入 允许扣除 145 157 5288 12800
房型5 非普通宅 列入 允许扣除 156 192 5268 12800
房型6 非普通宅 列入 允许扣除 167 350 5533 13600
房型7 非普通宅 列入 允许扣除 178 450 5685 14000
房型8 非普通宅 列入 不允许扣除 126 100 4323 10400
房型9 其他 不列入 允许扣除 103 50 2663 6400
房型10 其他 不列入 允许扣除 129 50 2791 6800
房型11 非普通宅 不列入 不允许扣除 133 50 2982 7200

此时, ,故方案能被成功执行。

六、模型的评价与改进
1.模型的评价
优  点:
(1)本文较合理的界定了众筹筑屋方案中的相关概念,基本做到了科学、合理、实用。
(2)本文建立的数学模型,准确的计算出了成本、容积率、增值税和收益等数值,优化模型得到了较合理的方案II,同时方案Ⅲ被成功执行。
(3)在问题2建模中比较合理的定义了房型 的需求率和满意距离,从而较合理的构造了目标函数。
(4)运用Mathematica软件和Excel分别进行了计算,相互验证,确保了模型的合理性和数据的准确性。
缺  点:
(1)在计算普通宅和非普通宅分摊购买土地所支付的金额时,没有考虑普通宅和非普通宅容积率的不同,见表6-1。
表6-1 普通标准住宅与非普通标准住宅的差别

(2)问题3,改进后的最优化模型求解,由于学识和能力所限,非线性规划没有考虑增值税对投资回报率的影响(实际影响很大!),难以计算出比较满意的最优解。
2.模型的改进
针对模型的缺点,我们认为在计算普通宅和非普通宅分摊购买土地所支付的金额时,需要考虑普通宅和非普通宅容积率的不同,比如可以通过分析方案Ⅰ中普通宅和非普通宅容积率的比值,或通过现行的政策文件预估一个容积率的数值,并将其用于分摊购买土地所支付的金额,这样会更加合理。对问题3改进的优化模型,可以考虑运用变换,简化目标函数。
七、参考文献
[1]姜启源、谢金星编著,数学建模案例选集,北京:高等教育出版社,2006.7
[2]徐安农主编,Mathematica数学实验(第二版),北京:电子工业出版社,2009.7
[3]谢金星、薛毅编著,优化建模与LINDO/LINGO软件,北京:清华大学出版社,2005.7
[4]土地增值税暂行条例实施细则,http://wenwen.sogou.com/z/q543298158.htm,2015.9.11
[5]住宅规划方案,
http://wenku.baidu.com/link?url=N-S2qs5SeyCR57-xtTGCEfUjFK4jyGpb6i3nbOcp2mSMgIBbtF-4WSrC_-YoswdOFhIqU1CbHgPIvovWeDqoXgACOWNX_84eVViZrN6R0ce, 2015.9.11
附录:
附录1 问题1的答案:

附录2 问题2的答案:

附录3—7 问题1、2、3:Mathematica软件计算源代码和Exce计算文档见独立附件。